第01次课（试课）讲义 · 一图胜千言：v-t 图像法是一种通法（教师版）

班级：0830高一试课｜日期：2026-08-30｜时长：30 分钟｜课型：试听课（目标：展示实力 + 促成秋季班报名） 对象：深圳头部高中高一新生，理科强（中考 570–580/630），部分已先修必修一前两章 对应大纲考点：必修一 第二章 · 匀变速直线运动 —— v-t 图像、图像转换、追及相遇 设计定位：把天花板拉高——不讲”什么是斜率”，讲”图像法为什么是通法”。让学生在 30 分钟内感到：这是学校听不到的东西。

逐分钟流程表（30 min，弹性 ±2 min）

超时预案：例3 的第 (2) 问路程部分可留作口答；例4 第 (3) 问可压缩为一句话结论。

一、知识点讲解

三要素 + 微元法（内容同学生版）

【讲解提示】

• 开门见山：“三要素我默认你们五分钟能懂，所以我们用三分钟。“——对强生，被高估比被低估更能赢得尊重。
• 微元法只说直觉：“切碎了再累加。牛顿想的也是这个。今天不证明，秋季讲导数思想时再闭环。”
• 高手注记一句带过，不展开：“斜率负不等于减速，$a$、$v$ 异号才减速。懂的点头，不懂的例3 会让你懂。”

【预设反应】先修过的学生会觉得这段浅——这正是设计意图：让他们带着”就这？“的轻视进入例3，然后在路程陷阱上翻车，心态反转的教学效果最佳。

二、例题精讲

例1（热身）[AI原创] 三段：$0\sim4\,\text{s}$ 静止→$8\,\text{m/s}$；$4\sim10\,\text{s}$ 匀速；$10\sim14\,\text{s}$ →停。

【解析】$a_1=\dfrac{8}{4}=2\,\text{m/s}^2$，$a_2=0$，$a_3=\dfrac{-8}{4}=-2\,\text{m/s}^2$；$x=\dfrac{1}{2}\times4\times8+6\times8+\dfrac{1}{2}\times4\times8=16+48+16=80\,\text{m}$。

【讲解提示】限时 30 秒口算抢答，不板书全过程。作用：确认底线 + 给所有人一次”我会”的体验。若有人卡壳，只提醒一句：“加速度是斜率，位移是面积。”

例2（中档 · 刹车陷阱）[AI原创] $20\,\text{m/s}$，反应 $0.5\,\text{s}$，刹车 $a=5\,\text{m/s}^2$，围挡 $60\,\text{m}$。

【解析】 刹停时间 $t_0=\dfrac{20}{5}=4\,\text{s}$（从刹车开始计时），即 $t=4.5\,\text{s}$ 停稳。

图像法：$x=20\times 0.5+\dfrac{1}{2}\times 4\times 20=10+40=50\,\text{m}<60\,\text{m}$。不会撞上，停下时距围挡 $10\,\text{m}$。

公式法对照：需先由 $0=v_0-at_0$ 求刹停时间，再分段代入 $x_1=v_0t_r$、$x_2=v_0t_0-\dfrac{1}{2}at_0^2=80-40=40\,\text{m}$，三步起步；且若把反应段漏掉（高频错误），直接得出 $40\,\text{m}$ 的错答案而毫无察觉。图像上反应段是一块明晃晃的矩形，想漏都难。

【讲解提示】

• 先给 2 分钟让学生自己做，巡视观察：谁先画图像、谁直接列公式、谁忘了反应段。这三个动作是分层判断的直接依据。
• 收题时只问一句：“刹车问题第一件事干什么？“全班齐答”求刹停时间”，铁律落地。
• 变式口答（有余量时）：“围挡多远以内必撞？”（$<50\,\text{m}$）；“反应 1 s 呢？“（恰 $60\,\text{m}$，擦边撞上——数值是设计好的，可点破）

【卡壳点】有学生会把刹车位移当总位移；引导：“图像上 0 到 0.5 秒那块矩形是什么？”

例3（中难 · 图像转换）[AI原创] a-t 图：$0\sim2\,\text{s}$ $a=3$；$2\sim6\,\text{s}$ $a=-2$；$6\sim8\,\text{s}$ $a=1\,\text{m/s}^2$，从静止出发。

【解析】 (1) a-t 面积 = 速度变化量：$v(2)=3\times2=6\,\text{m/s}$；$v(6)=6-2\times4=-2\,\text{m/s}$；$v(8)=-2+1\times2=0\,\text{m/s}$。v-t 图为三段直线，在 $t=5\,\text{s}$ 处穿过 t 轴（由 $6-2(t-2)=0$ 得）：

(2) 正面积：$\dfrac{1}{2}\times2\times6+\dfrac{1}{2}\times3\times6=6+9=15\,\text{m}$；负面积：$\dfrac{1}{2}\times1\times2+\dfrac{1}{2}\times2\times2=1+2=3\,\text{m}$。

【讲解提示】

• 开场只问一个问题：“a-t 图像的面积是什么？“让学生自己说出 $\Delta v$，再追问：”$\Delta v$ 和 $v$ 差什么？“（差初速度——本题从静止出发才恰好相等。）这个追问把概念钉死。
• 学生画 v-t 图时巡视，重点找两类典型错误投屏点评：① $2\sim6\,\text{s}$ 段画到 t 轴就停（不敢画负速度）；② 第 (2) 问把路程答成 $12\,\text{m}$。
• 点破时刻：“图线穿过 t 轴 = 掉头。从这一刻起，位移做减法，路程做加法。位移是账上的余额，路程是刷卡的流水。”
• 卡壳引导：“5 秒时质点在往哪边走？""图线在轴下方，面积还正吗？”

例4（难 · 追及通法，本课高潮）[AI原创] 甲 $10\,\text{m/s}$ 匀速，乙从静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 追，同时同地。

【解析 · 图像法】（对照学生版双线图，此处用标注版）

(1) “追上”= 位移相等 = 面积相等。设 $t$ 时刻追上：甲的矩形 $10t$，乙的三角形 $\dfrac{1}{2}\cdot t\cdot 2t=t^2$。$t^2=10t\Rightarrow t=10\,\text{s}$，$v_乙=2\times10=20\,\text{m/s}$。

(2) $v_乙<v_甲$ 时甲拉开距离，$v_乙>v_甲$ 时乙开始收网，故 $v$ 相等（两线交点，$t=5\,\text{s}$）时间距最大，最大间距 = 两线间三角形面积：$10\times5-\dfrac{1}{2}\times5\times10=25\,\text{m}$。

(3) $v_乙=20=2v_甲$，不是巧合：只要被追者匀速、追击者从静止匀加速，面积相等即 $\dfrac{1}{2}v_乙t=v_甲t$，恒有 $v_乙=2v_甲$。让学生换数验证（如甲 $6\,\text{m/s}$、乙 $a=3$：追上时 $v_乙=12$）。

【解析 · 公式法对照】（板书两栏对比，突出信息量差）

落点话术：“公式法每一步都在算，图像法每一步都在看。考试时的差距不是对错，是 5 分钟和 50 秒。”

【卡壳点】学生易把”追上”说成”速度相等”（恰恰答反——速度相等是间距最大）。不直接纠正，反问：“速度相等那一刻，是乙离甲最近还是最远？“让图像自己回答。

三、挑战题（下节课揭晓 · 完整解析存档）[AI原创]

地铁 A→B：$1\,\text{m/s}^2$ 加速至 $20\,\text{m/s}$，匀速 $30\,\text{s}$，再以 $1\,\text{m/s}^2$ 减速停稳。

(1) v-t 图为梯形：加速段 $t_1=\dfrac{20}{1}=20\,\text{s}$，位移 $\dfrac{1}{2}\times20\times20=200\,\text{m}$；减速段对称，同为 $20\,\text{s}$、$200\,\text{m}$；匀速段 $20\times30=600\,\text{m}$。

(2) $v_m=25\,\text{m/s}$：加、减速各需 $25\,\text{s}$，各走 $\dfrac{1}{2}\times25\times25=312.5\,\text{m}$，共 $625\,\text{m}$；匀速段只剩 $1000-625=375\,\text{m}$，用时 $\dfrac{375}{25}=15\,\text{s}$。新总时 $25+15+25=65\,\text{s}$，原总时 $70\,\text{s}$，节省 $5\,\text{s}$。

【课堂处理】只板书一句：“面积锁死 $1000\,\text{m}$，梯形长高变窄，匀速段的时间是被挤出来的。“追问留给学生：“提速 $25\%$，为什么只省了 $5\,\text{s}$（$7\%$）？“——答案藏在加减速段面积随 $v_m^2$ 增长里，下节课连同 0-v-0 模型结论 $\bar{v}=\dfrac{v_m}{2}$ 一起讲。

四、课后小练解析（微信发放版内容存档）[AI原创]

1. （中档 · 刹车陷阱） 刹停时间 $t_0=\dfrac{16}{4}=4\,\text{s}<5\,\text{s}$，第 $4\,\text{s}$ 末已停。$x=\dfrac{1}{2}\times4\times16=32\,\text{m}$。误代 $t=5$ 得 $30\,\text{m}$——刹车问题先求刹停时间，图像法的三角形画到 $t=4$ 自然截止。

2. （难） 第一段平均速度 $\bar{v}_1=\dfrac{24}{4}=6\,\text{m/s}$ = 第 $2\,\text{s}$ 末瞬时速度；第二段 $\bar{v}_2=\dfrac{24}{2}=12\,\text{m/s}$ = 第 $5\,\text{s}$ 末瞬时速度（梯形中位线 = 中间时刻速度）。$a=\dfrac{12-6}{5-2}=2\,\text{m/s}^2$（此时 $v_0=2\,\text{m/s}$，可验证两段位移均为 $24\,\text{m}$）。公式法需列 $4v_0+8a=24$、$6v_0+18a=48$ 联立——能做，但慢一个量级。

3. （难 · 0-v-0 模型） 设最大速度 $v_m$，则 $t_1=\dfrac{v_m}{2}$，$t_2=\dfrac{v_m}{3}$。三角形面积：$\dfrac{1}{2}v_m\left(\dfrac{v_m}{2}+\dfrac{v_m}{3}\right)=\dfrac{5v_m^2}{12}=60$，得 $v_m=12\,\text{m/s}$；$t_1=6\,\text{s}$，$t_2=4\,\text{s}$，总时间 $10\,\text{s}$。

预计用时 20–25 分钟。提交拍照发微信，当晚逐题批改。

五、分层应对预案

对已先修的强生——往深追，不给重复：

• 例2 后追问：“v-t 图上能不能直接读平均速度？“（能：面积 ÷ 底边 = 平均高度，$\bar{v}=\dfrac{x}{t}$ 的几何意义）
• 例3 后追问：“v-t 图线如果是曲线，面积还是位移吗？$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ 还能用吗？为什么不能？“（面积恒是位移；公式失效，因为它本质是梯形面积的代数形式，图线一弯就没有梯形了——运动学公式的适用范围在图上一目了然）
• 例4 后追问：“若乙车晚出发 $2\,\text{s}$，图怎么改？“（乙的图线整体右移 2 格，交点、面积差全变——图像对条件变化的响应是平移，公式则要重建）“a-t 图的斜率是什么？”（$\dfrac{da}{dt}$，加加速度，大学再会——一句话吊胃口即可）

对零基础但聪明的学生——兜底不降智：

• 只要求三句口诀：“斜率是 $a$，面积是 $x$，先画图再列式。“例1、例2 保证他们全程跟上并能答对至少一个问题（点名时把例1 或例2 的子问留给他们）。
• 例3、例4 给操作指令而非概念要求：“你不需要懂为什么，先把点 $(2,6)$、$(6,-2)$、$(8,0)$ 描出来连上线，答案就在图上。“用动作带动理解。
• 课后小练分层暗示：第 1 题人人必做，第 2、3 题”敢挑战的做”。

六、促报名锚点（结尾 1–2 分钟话术要点）

1. 深度定位：“今天 30 分钟，容量约等于学校三节课，外加学校不讲的部分——追及通法和 0-v-0 模型。我们秋季班的定位是同步 + 拓展双轨：校内进度一周一章，我们同步消化的同时，每周加一个学校课堂来不及展开的方法模块。”
2. 课程地图（板书一条线）：运动学（图像通法、追及相遇、0-v-0 模型——月考压轴就在这里）→ 相互作用（受力分析体系）→ 牛顿定律（板块、传送带——图像法的巅峰战场）。“今天例4 只是追及问题的入门款，秋季我们把追及相遇讲成全类型通杀。”
3. 目标对齐：“在座各位的底子，目标不是跟上学校，是年级前列。拉开差距靠的就是’学校不讲的通法’。”
4. 行动钩子：“课后 3 道小练做完拍照发我微信，今晚逐题批改；挑战题完整解析 + 0-v-0 模型结论文档，加微信后一并发给家长。”

七、课堂观察记录（课后填）