第01次课（试课）讲义 · 一图胜千言：v-t 图像法是一种通法（学生版）

班级：0830高一试课｜日期：2026-08-30｜时长：30 分钟｜姓名：______

一、引入：学校教公式，我们教看图

匀变速直线运动，学校课堂给你三个公式，考场上逐个代入、联立、解方程。

今天 30 分钟，我们只做一件事：把这三个公式折叠进一张图。学完你会发现——刚才那套方程组，其实是这张图的几何性质穿上了代数的外衣。

二、知识点速览：v-t 图像三要素

微元法（给直觉，不证明）：匀速时 $x=vt$ 就是矩形面积。变速？把时间切成无穷多小段，每段近似匀速，位移 ≈ 一排细矩形的面积和；取极限，图线下的面积就是精确位移。这个”先切碎、再求和”的思想叫微元法，是你们高中三年反复使用的底层工具。

高手注记：斜率为负 ≠ 减速。$a$ 与 $v$ 同号才是加速——减速的本质是”$a$、$v$ 异号”，与斜率正负无关。一句话记牢，考试不掉坑。

三、例题精讲

例1（热身 · 30 秒口算）[AI原创] 某质点的 v-t 图像分三段：$0\sim 4\,\text{s}$ 由静止匀加速到 $8\,\text{m/s}$；$4\sim 10\,\text{s}$ 匀速 $8\,\text{m/s}$；$10\sim 14\,\text{s}$ 匀减速至停下。求三段加速度与全程位移。

本题看点：三要素的直接调用——此题不过关，后面四题跟不上。

（演算区）

例2（中档 · 深圳情境）[AI原创] 滨海大道上，汽车以 $20\,\text{m/s}$ 匀速行驶，司机发现正前方 $60\,\text{m}$ 处有施工围挡。反应时间 $0.5\,\text{s}$ 内车速不变，随后以 $5\,\text{m/s}^2$ 的加速度大小匀减速刹车。判断汽车能否避免撞上围挡；若不能，撞击速度多大？若能，停下时距围挡多远？

本题看点：刹车问题第一铁律——先求刹停时间；图像法把这个陷阱变成了”三角形画到哪为止”的常识。

（演算区）

例3（中难 · 图像转换）[AI原创] 一质点从静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的 a-t 图像如图所示。

(1) 在坐标系中画出质点 $0\sim 8\,\text{s}$ 的 v-t 图像； (2) 求 $0\sim 8\,\text{s}$ 内质点的位移和路程。

本题看点：a-t 图的面积是 $\Delta v$ 不是 $v$——初速度为零才能把”变化量”当”速度”用；图线穿过 t 轴的瞬间，位移和路程开始分道扬镳。

（演算区）

例4（难 · 追及相遇的图像通法）[AI原创] 甲车以 $10\,\text{m/s}$ 匀速通过路口，同一时刻，停在路口的乙车以 $2\,\text{m/s}^2$ 的加速度从静止匀加速追出。

(1) 乙车出发后多久追上甲车？追上时乙车速度多大？ (2) 追上之前，两车间的最大距离是多少？ (3) 比较追上瞬间乙车与甲车的速度——这个倍数是巧合吗？换成别的数据试试。

本题看点：“追上”= 面积相等，“间距”= 两线间的面积，“最大间距”= 速度相等的那一刻。追及问题的所有关键词，在图上都有一块对应的几何区域——这就是通法。

（演算区）

四、挑战题（课堂只点思路 · 下节课揭晓完整解析）[AI原创]

地铁列车从 A 站由静止出发，以 $1\,\text{m/s}^2$ 匀加速至 $20\,\text{m/s}$，匀速行驶 $30\,\text{s}$，再以大小 $1\,\text{m/s}^2$ 的加速度匀减速，到达 B 站恰好停稳。

(1) 画出全程 v-t 图像，求 A、B 两站间的距离； (2) 若为压缩行车时间，把最大速度提高到 $25\,\text{m/s}$（加、减速的加速度大小不变），单程可节省多少时间？

思路提示：图像是梯形，站间距是面积。第 (2) 问梯形”长高变窄”但面积锁死——匀速段的时长是被挤出来的。

这是深圳名校期中期末的压轴常客。今晚试试，完整解析下节课揭晓。

五、课后小练（3 道 · 中档 1 + 难题 2，解析加老师微信领取）[AI原创]

1.（中档）汽车以 $16\,\text{m/s}$ 行驶，刹车加速度大小 $4\,\text{m/s}^2$。求刹车后 $5\,\text{s}$ 内的位移。（先问自己：车什么时候已经停了？）

2.（难）物体做匀加速直线运动，先后通过两段均为 $24\,\text{m}$ 的位移，分别用时 $4\,\text{s}$ 和 $2\,\text{s}$。求加速度。（提示：梯形面积 ÷ 底边 = 中位线高度——“平均速度 = 中间时刻的瞬时速度”在图上长什么样？）

3.（难）物体从静止出发，先以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速，再以大小 $3\,\text{m/s}^2$ 匀减速，恰好停下时全程位移 $60\,\text{m}$。求最大速度与总时间。（提示：设最大速度 $v_m$，两段的时间、位移全都能用 $v_m$ 一个字母写完——画个三角形就看见了。）

下节预告：x-t ↔ v-t 图像互译 + 追及相遇通法的完整版图（含今天挑战题解析与 0-v-0 模型结论：$\bar{v}=\dfrac{v_m}{2}$，与两段加速度无关）。