第01次课（试课）讲义 · 追及相遇问题（教师版）

班级：0830高一试课｜日期：2026-08-30｜时长：30 分钟｜课型：试听课 对象：深圳头部高中高一新生，理科强（中考 570–580/630），部分已先修必修一前两章 对应大纲考点：必修一 第二章 · 匀变速直线运动 —— 追及相遇问题 设计定位：以”统一时间基准下的位置关系”为主线，v-t 图像面积法为通法工具，覆盖能否追上、何时追上、距离最值、相遇次数四类基本问题。

逐分钟流程表（30 min，弹性 ±2 min）

超时预案：例4 第 (3) 问可压缩为口头一句话（“三角形面积 25 m 与 $d_0$ 比大小”）；例3 的单调性验证可省略，只保留位移之差。

一、知识点讲解

分析框架（内容同学生版：间距函数、相遇条件、临界状态、图像法）

【讲解提示】

• 引入只写三问，不给答案：“这三个问题是一类题，今天我们只用一个函数 $d(t)$ 和一张图来回答。”
• 间距函数 $d(t)=d_0+x_A-x_B$ 必须先定义符号约定（$d>0$ 表示 A 在前），后面所有题共用同一套符号，避免每题重设。
• 临界状态强调因果关系：”$v_B>v_A$ 间距才缩小”，所以 $v_B=v_A$ 是间距由减转增（或由增转减）的转折点。不要让学生背”v 相等距离最大”，例2 会说明它也可能是”最小”。
• 图像法一句过渡：“两线间面积 = 间距改变量”其实就是 $\int(v_B-v_A)\,dt$，不用积分符号，用面积说。

【预设反应】先修过的学生可能见过”速度相等时距离最大/最小”的结论性口诀；例2 和拓展思考会分别给出”取最小值""间距先增后减”的情形，可借此纠正机械记忆。

二、例题精讲

例1（热身）[AI原创] 甲 $8\,\text{m/s}$ 匀速，乙从静止以 $4\,\text{m/s}^2$ 追，同时同地。

【解析】 (1) 相遇条件 $d(t)=0$，即 $\dfrac{1}{2}\times4t^2=8t$，得 $2t^2-8t=0$，$t=4\,\text{s}$（$t=0$ 为出发时刻，舍）。追上时 $v_乙=at=4\times4=16\,\text{m/s}$。

(2) $v_乙=v_甲$ 时 $4t=8$，$t=2\,\text{s}$，间距最大：

【讲解提示】限时 2 分钟独立完成，只板书 $d(t)$ 的定义式。作用：确认全体学生能把”追上”翻译成 $d(t)=0$。 【卡壳点】有学生把第 (2) 问答成”追上时距离最大”。反问：“追上之后乙比甲快还是慢？间距是增大还是减小？”

例2（中档 · 临界判断）[AI原创] 甲在前 $32\,\text{m}$，从静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速；乙 $10\,\text{m/s}$ 匀速，同时起步。

【解析】 间距函数 $d(t)=32+\dfrac{1}{2}\times2t^2-10t=t^2-10t+32$。

临界判别：$v_甲=v_乙$ 时 $2t=10$，$t=5\,\text{s}$，此时

故乙车追不上甲车，两车间最小距离为 $7\,\text{m}$。（也可配方：$d(t)=(t-5)^2+7\geq7$。）

【讲解提示】

• 先投票：“能追上吗？“多数学生会凭”乙比甲快”答能——这正是要纠正的直觉：乙只在 $t<5\,\text{s}$ 内比甲快，能追近的距离是有限的。
• 规范流程板书两步：① 求 $v$ 相等时刻；② 算此时间距，正、零、负分别对应 0 次、恰好 1 次、已相遇。
• 图像印证：对照知识点双车图，乙最多追近 $\dfrac{1}{2}\times5\times10=25\,\text{m}<32\,\text{m}$，差 $7\,\text{m}$——为例4 埋下伏笔（同一组数据，例4 中把 $32$ 换成 $d_0$ 讨论）。

【卡壳点】直接令 $d(t)=0$，得 $\Delta=100-128<0$ 后不知所措。引导：“方程没有实数解，在 v-t 图上对应什么画面？“（两线间面积最大也只有 $25\,\text{m}$，填不满 $32\,\text{m}$。）

例3（中难 · 刹车避撞）[AI原创] 货车、轿车同速 $16\,\text{m/s}$；货车先刹，$a_货=4\,\text{m/s}^2$；轿车反应 $0.5\,\text{s}$ 后以 $a_轿=2\,\text{m/s}^2$ 刹车。

【解析】 以货车开始刹车为 $t=0$。

货车：刹停时间 $\dfrac{16}{4}=4\,\text{s}$，位移 $x_货=\dfrac{16^2}{2\times4}=32\,\text{m}$。

轿车：反应段 $16\times0.5=8\,\text{m}$；刹车段位移 $\dfrac{16^2}{2\times2}=64\,\text{m}$，合计 $x_轿=72\,\text{m}$（$t=8.5\,\text{s}$ 停稳）。

单调性检验（说明最小间距出现在两车都停下时）：$0<t<0.5\,\text{s}$ 内 $v_轿-v_货=4t>0$；$0.5<t<4\,\text{s}$ 内 $v_轿-v_货=(17-2t)-(16-4t)=1+2t>0$；$t>4\,\text{s}$ 货车已停，轿车继续接近。故间距全程单调减小，最小间距即最终间距。

不追尾条件：

图像法：双车 v-t 图（见学生版）中两线间阴影面积 $=72-32=40\,\text{m}$，即最小安全间距。

【讲解提示】

• 先让学生估计一个数，再画图算——多数人会漏反应段，或默认”货车停下时间距最小”。
• 关键追问：“货车 $t=4\,\text{s}$ 就停了，之后两车还接近吗？“（轿车 $t=8.5\,\text{s}$ 才停，继续接近 $4.5\,\text{s}$——若误判，会把答案算成 $19.75\,\text{m}$。）
• 收束一句：刹车避撞问题先列两车的”时间表”（何时减速、何时停），再比位移。

【卡壳点】① 漏掉反应段 $8\,\text{m}$；② 认为货车停下时间距最小。都用同一个问题引导：“这一刻之后，哪辆车更快？”

例4（难 · 相遇次数）[AI原创] 甲在前 $d_0$，从静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速；乙 $10\,\text{m/s}$ 匀速，同时起步。

【解析】 间距函数 $d(t)=d_0+t^2-10t$。

(1) $d_0=16\,\text{m}$：$t^2-10t+16=0$，得 $t_1=2\,\text{s}$、$t_2=8\,\text{s}$。物理意义：$t=2\,\text{s}$ 乙追上并超过甲；$t=8\,\text{s}$ 甲反超乙——共相遇 2 次。

(2) 乙能追近的最大距离出现在 $v$ 相等（$t=5\,\text{s}$）时，为 $\dfrac{1}{2}\times5\times10=25\,\text{m}$（v-t 图上的三角形面积）：

• $d_0<25\,\text{m}$：相遇 2 次；
• $d_0=25\,\text{m}$：恰好相遇 1 次（$t=5\,\text{s}$，此时 $v_甲=v_乙$，接触即分离）；
• $d_0>25\,\text{m}$：追不上，0 次。

代数对照：$\Delta=100-4d_0$，$\Delta>0$、$=0$、$<0$ 与上面三种情形一一对应。

(3) “恰好一次”时 $d(t)$ 的最小值恰为 0，即 $t=5\,\text{s}$ 时乙恰好追平甲且此刻两车速度相等；v-t 图上表现为三角形面积恰等于 $d_0$，$d_0$ 因此唯一确定为 $25\,\text{m}$。

【讲解提示】

• 与例2 呼应：“例2 的 $d_0=32\,\text{m}$ 属于哪种情况？”（$>25\,\text{m}$，0 次，与例2 结论一致。）
• 第 (1) 问求出两个根后必须追问物理意义，否则学生只停留在解方程。
• 第 (3) 问让一名学生在黑板上指着图讲，教师只补充术语（“最大可追近距离”）。

【卡壳点】把”恰好相遇一次”理解成”乙超过甲一次”。引导：”$d_0=25\,\text{m}$ 时追上那一刻，两车速度谁大？之后间距怎么变？“（速度相等，之后甲更快，间距重新拉大——所以只相遇一次。）

三、拓展思考 · 完整解析[AI原创]

甲 $4\,\text{m/s}$ 匀速；乙在后 $24\,\text{m}$ 从静止以 $1\,\text{m/s}^2$ 追，同时起步。

【解析】 间距函数 $d(t)=24+4t-\dfrac{1}{2}t^2$。

(1) $d'(t)=4-t=0$，即 $v_乙=v_甲=4\,\text{m/s}$（$t=4\,\text{s}$）时，间距取最大值：

（乙起步慢，间距先拉大——本题 $v$ 相等对应最大而非最小。）

(2) $d(t)=0$：$t^2-8t-48=0$，得 $t=12\,\text{s}$（$t=-4$ 舍）。追上时 $v_乙=at=12\,\text{m/s}=3\times4\,\text{m/s}$，是甲车的 3 倍。

(3) 例1（$d_0=0$）：相遇条件为 $\dfrac{1}{2}v_乙t=v_甲t$，约去 $t$ 得 $v_乙=2v_甲$，与数据无关。本题（$d_0>0$）：$\dfrac{1}{2}v_乙t=v_甲t+d_0$，得 $v_乙=2v_甲+\dfrac{2d_0}{t}>2v_甲$，倍数依赖于 $d_0$ 与 $t$。所以”2 倍”只在前车匀速、后车静止出发且同地出发时成立。

【课堂处理】只点思路：“先写 $d(t)$，注意它的开口方向和例2 相反。“第 (3) 问留作思考题，下节课开始时对答案。

四、课后小练 · 参考答案与解析[AI原创]

1. （中档 · 刹车避撞） 反应 $1\,\text{s}$ 内间距缩小 $(20-12)\times1=8\,\text{m}$，余 $16\,\text{m}$。此后后车相对前车初速度 $8\,\text{m/s}$、相对加速度大小 $4\,\text{m/s}^2$，最多还能追近 $\dfrac{8^2}{2\times4}=8\,\text{m}<16\,\text{m}$（速度相等时后车 $v=12\,\text{m/s}$，此后比前车慢）。故不追尾，最小间距 $16-8=8\,\text{m}$。注意：不要等”后车刹停”再算——速度相等后间距已开始增大。

2. （难 · 临界速度） $d(t)=36+t^2-v_甲t$。 (1) $v_甲=10\,\text{m/s}$：$d(t)=(t-5)^2+11\geq11>0$，追不上，最小距离 $11\,\text{m}$（$t=5\,\text{s}$）。 (2) 恰好追上要求 $d_{\min}=d_0-\dfrac{v_甲^2}{2a}=0$，即 $v_甲^2=2\times2\times36=144$，$v_甲=12\,\text{m/s}$，此时 $t=6\,\text{s}$（追上点距乙起点 $36+\frac{1}{2}\times2\times36=72\,\text{m}$，可验算：$12\times6=72\,\text{m}$）。

3. （难 · 两次相遇） $d(t)=32+\dfrac{1}{2}t^2-10t$。 (1) $d(t)=0$：$t^2-20t+64=0$，$t_1=4\,\text{s}$，$t_2=16\,\text{s}$（第一次乙超甲，第二次甲反超）。 (2) 两次相遇地点间距 = 乙车在 $4\sim16\,\text{s}$ 内的位移 $=10\times12=120\,\text{m}$。 (3) 两次相遇之间 $d(t)<0$，即乙领先；$|d|$ 在 $v_甲=v_乙$（$t=10\,\text{s}$）时最大：$|d(10)|=|32+50-100|=18\,\text{m}$，即乙车最多领先 $18\,\text{m}$。（注意：不宜笼统问”全程最大距离”——$t=0$ 时间距已是 $32\,\text{m}$，且 $t>16\,\text{s}$ 后甲车更快、间距不断增大。）

预计用时 25–30 分钟。课后提交，教师批改后向学生反馈。

五、分层应对预案

对已先修的强生——往深追，不给重复：

• 例2 后追问：”$d(t)$ 是二次函数时，判别式与相遇次数是什么关系？”（$\Delta>0$ 两次、$\Delta=0$ 一次、$\Delta<0$ 零次——例4 正式展开）
• 例4 后追问：“v-t 图上’恰好相遇一次’长什么样？“（两线间三角形面积恰等于 $d_0$，相遇时刻正是两线交点）“若乙晚出发 $t_0$，图怎么改？“（乙的图线整体右移，$d(t)$ 的时间基准随之平移）
• 例3 变式：“若货车刹停 $2\,\text{s}$ 后重新以 $1\,\text{m/s}^2$ 起步，安全间距怎么算？“（分段重画 v-t 图，面积差逐段累加）

对基础较薄弱的学生——降低门槛但不降低要求：

• 只要求三步流程：“写 $d(t)$；求 $v$ 相等时刻；比较间距。“例1、例2 保证他们全程跟上并能答对至少一个问题（点名时把例1 或例2 的子问留给他们）。
• 例3、例4 给操作指令而非概念要求：“先把两车的 v-t 图线画出来，标出交点，再读面积。”
• 课后小练分层要求：第 1 题全员必做，第 2、3 题供学有余力的学生选做。

六、课后安排

课后按《试课反馈》模板向家长反馈本次课的课堂观察与评估；收取课后小练并批改反馈；拓展思考题的解析在下次课讲解。

七、课堂观察记录（课后填）