第01次课（试课）讲义 · 追及相遇问题（学生版）

班级：0830高一试课｜日期：2026-08-30｜时长：30 分钟｜姓名：______

一、引入：同一时刻，谁在哪里

两辆车在同一直线公路上同向行驶，一前一后。关于它们的相对位置，通常只关心三个问题：后车能否追上？何时何地追上？追上之前两车相距最远（或最近）是多少？

这三个问题不需要三套结论，只需要一个出发点：在统一的时间基准下写出两车的位置，再比较它们。本节用这个出发点，配合 v-t 图像的面积这一工具，处理追及相遇的基本题型。

二、知识点速览：追及相遇的分析框架

设后车 B 追前车 A，$t=0$ 时 A 在 B 前方 $d_0$ 处，两车同时开始运动。

图像法：在同一 v-t 坐标系中画出两车的图线，两图线之间的有向面积 = 两车的相对位移，即间距的改变量。能否追上、何时追上、距离最值，都可以在图上直接读出。

注记：”$v_B=v_A$ 时间距取最值”是求最值的条件，不是相遇条件。把”速度相等”当成”追上”，是本节最常见的错误。

三、例题精讲

例1（热身）[AI原创] 甲车以 $8\,\text{m/s}$ 匀速通过路口，同一时刻，停在路口的乙车以 $4\,\text{m/s}^2$ 的加速度从静止匀加速追出。

(1) 乙车出发后多久追上甲车？追上时乙车的速度多大？ (2) 追上之前，两车间最大距离是多少？

注：相遇条件 $d(t)=0$ 的直接应用；最大距离出现在两车速度相等时。

（演算区）

例2（中档 · 临界判断）[AI原创] 甲车位于乙车前方 $32\,\text{m}$ 处。两车同时开始运动：甲车由静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速，乙车以 $10\,\text{m/s}$ 匀速追赶。

判断乙车能否追上甲车；若能，求追及时刻；若不能，求两车间最小距离。

注：先求速度相等时刻的间距，再下结论；直接令 $d(t)=0$ 解方程，会把”能否追上”和”何时追上”混在一起。

（演算区）

例3（中难 · 刹车避撞）[AI原创] 夜间，货车与轿车在同一车道同向行驶，速度均为 $16\,\text{m/s}$，轿车在后。货车因故障以 $4\,\text{m/s}^2$ 的加速度大小紧急刹车；轿车司机反应时间 $0.5\,\text{s}$（此间车速不变），随后以 $2\,\text{m/s}^2$ 的加速度大小刹车。

为避免追尾，两车至少应保持多大的间距？

注：刹车类追及要先确认两车各自的运动时间与刹停时刻——货车停下之后，轿车仍在继续接近。

（演算区）

例4（难 · 相遇次数）[AI原创] 甲车位于乙车前方 $d_0$ 处。两车同时开始运动：甲车由静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速，乙车以 $10\,\text{m/s}$ 匀速追赶。

(1) 若 $d_0=16\,\text{m}$，求两次相遇的时刻； (2) $d_0$ 满足什么条件时，两车相遇 2 次、恰好 1 次、0 次？ (3) 在 v-t 图像上说明：为什么”恰好相遇一次”对应一个确定的 $d_0$？

注：相遇次数 = 方程 $d(t)=0$ 的正根个数；在图像上对应”最大可追近面积”与 $d_0$ 的比较。

（演算区）

四、拓展思考[AI原创]

甲车以 $4\,\text{m/s}$ 匀速行驶，乙车在甲车后方 $24\,\text{m}$ 处由静止以 $1\,\text{m/s}^2$ 匀加速追赶（同时起步）。

(1) 追上之前，两车间最大距离是多少？ (2) 乙车出发多久后追上甲车？追上时乙车速度是甲车的几倍？ (3) 与例1 比较：为什么例1 中这个倍数恒为 2，这里却不是？

思路提示：注意乙车起步较慢，间距先增大后减小——最大距离出现在两车速度相等时，而不是在快追上的时候。第 (3) 问把”面积相等”的等式写出来对比即可。

完整解析见教师版。

五、课后小练（3 道 · 中档 1 + 难题 2）[AI原创]

1.（中档）前车以 $12\,\text{m/s}$ 匀速行驶，后车以 $20\,\text{m/s}$ 行驶，两车相距 $24\,\text{m}$。后车司机反应时间 $1\,\text{s}$（此间车速不变），随后以 $4\,\text{m/s}^2$ 的加速度大小刹车。判断是否会发生追尾；若不会，求两车间最小距离。（先问自己：速度相等之前，间距一直在缩小吗？）

2.（难）乙车在前方 $36\,\text{m}$ 处由静止以 $2\,\text{m/s}^2$ 匀加速，甲车以恒定速度追赶（同时起步）。(1) 若 $v_甲=10\,\text{m/s}$，甲车能追上乙车吗？两车间最小距离是多少？(2) 甲车至少以多大速度才能恰好追上乙车？

3.（难）甲车在前方 $32\,\text{m}$ 处由静止以 $1\,\text{m/s}^2$ 匀加速，乙车以 $10\,\text{m/s}$ 匀速追赶（同时起步）。(1) 求两次相遇的时刻；(2) 两次相遇地点相距多远？(3) 两次相遇之间，乙车最多领先甲车多少米？

参考答案与解析见教师版。

下节内容：x-t 图像与 v-t 图像的综合运用，相遇问题的图像讨论。